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投 资 学 · 通 俗 版

投资学七大公式
用大白话讲清楚

这七条公式不是让人背的，是让人做决定的。
每一条对应一个你迟早要回答的问题——我把数学拆成生活，把公式拆成人话。

1

期望值 该不该做

Expected Value · 期望值
把所有可能的结果 × 各自发生的概率，加起来是正数，这事才值得干。
🔍 到底在说什么

你面前有个机会，可能赚、可能亏。别只盯着「赚多少」，也别只盯着「亏多少」—— 要看这两种情况各有多大可能，然后把它们加权平均。

算出来的那个平均数，就是这件事的「真实价值」。它是正的，你长期做就赚钱； 是负的，你运气再好也会亏回去。

🎲
朋友跟你玩掷骰子：掷出 6 点，他给你 100 块；掷出别的，你给他 20 块。
🧮
掷出 6 点的概率是 1/6，你赢 100；其余 5/6 的概率，你输 20。
算一下：100 × 1/6 = 16.7（赢的部分），20 × 5/6 = 16.7（输的部分）。
两者一减：16.7 − 16.7 = 0。这游戏不赚不赔，白玩。
💡
如果他改成「掷出 6 点给你 200 块」，你的期望就变成 +16.7—— 同样是掷骰子，这一个才值得玩。看的是算式，不是感觉。
E(X) = Σ pi × xi
念作：期望 = 每个结果（x）乘上它自己的概率（p），然后全部加起来。
Σ 就是「全部加起来」的意思。
p概率 —— 这件事发生的可能性
x损益 —— 赚多少或亏多少
Σ求和 —— 把所有情况加总
换个真实场景：一个项目，七成能做成一单赚 30 万，三成黄掉亏 10 万。接不接？
成功那部分：30 万 × 70% = 21 万
失败那部分：−10 万 × 30% = −3 万
期望值：21 万 − 3 万 = +18 万
✓ 期望为正 18 万 → 值得接。哪怕这次真黄了亏 10 万，做一百次你还是赚。
🎯 你什么时候用它
  • 决定一单生意接不接 — 先把「可能的结果」和「大概的概率」列出来，心算一个期望值。
  • 判断一个投资机会 — 涨到多少、跌到多少、各有多少概率，加权算一下，别被「万一涨十倍」迷惑。
  • 筛掉所有负期望的事 — 赌场、彩票、追高接盘，都是算出来为负还要做。
⚠️ 最容易犯的错

概率是靠猜的。 期望值为正的前提是你估的概率靠谱。人对「赚」的概率普遍高估，对「亏」的概率普遍低估 —— 所以算的时候，先把自己的乐观削掉两成再算。

期望为正 ≠ 每次都该满仓。 期望管「做不做」，管「做多少」的是第 3 条凯利公式。这是两回事。

2

复利 时间的力量

Compound Interest · 复利
赚来的钱不拿走，留在里面继续生钱 —— 时间越久，雪球越大，而且是加速变大。
🔍 到底在说什么

利息不只是本金生的，利息自己也会生利息。第一年你赚的是本金的 10%， 第二年是「本金 + 第一年利息」的 10%，第三年再往上叠……这就是复利。

它的威力不在前十年，而在最后几年—— 曲线前半段几乎是平的， 后半段陡然拉升。多数人死在「前半段太平，以为没用」。

📄
一张纸对折。折 1 次变成 2 层，折 10 次才 1024 层（约 1 厘米厚，看上去没啥）。
🏔️
但折到 42 次，厚度超过 43 万公里 —— 比地球到月球还远。
前面 40 次你几乎看不出变化，威力全挤在最后几次。
💡
复利是同一个道理：它的可怕之处不是「每次赚一点」，而是「每次都在更大的数上赚」。
FV = PV × (1 + r)n
念作：未来的钱 = 现在的钱 ×（1 + 每年收益率）的 n 次方。
指数 n 是关键 —— 时间在指数位置上，所以时间比收益率更狠。
FV未来值 —— 最后变成多少钱
PV现值 —— 一开始投入的钱
r收益率 —— 每年涨几个点
n期数 —— 放了几年
10 万块，年化 10%，放 10 年 vs 放 30 年，差多少？
10 年：10 万 × 1.1¹⁰ = 25.9 万
20 年：10 万 × 1.1²⁰ = 67.3 万
30 年：10 万 × 1.1³⁰ = 174.5 万
✓ 看规律：前 10 年只赚 15.9 万；从 20 年到 30 年这十年，赚了 107 万。
同样十年，收益差 6.7 倍。这就是「时间在指数上」。
🎯 你什么时候用它
  • 判断「早开始」的价值 — 25 岁开始和 35 岁开始，最终差几倍，不是差 10 年那么简单。
  • 理解为什么不能断档 — 复利最怕中途取出。取一次，前面所有「利息生利息」全部作废重来。
  • 把「每年赚 20%」祛魅 — 连续 20 年 20%，100 万变 3833 万。所以吹长期年化 20% 的人，先看他做到几年。
⚠️ 最容易犯的错

复利是双向的。 收益复利，亏损也复利。跌 50% 要涨 100% 才回本——亏损的复利比收益的复利更凶。

所以「不亏」比「多赚」重要。 这是七条公式里反复出现的主线。

3

凯利公式 下多少注

Kelly Criterion · 凯利判据
机会好也不该全压。它算的是：手上这笔钱，该拿出多大比例才既不浪费机会、又不会一把输光。
🔍 到底在说什么

第 1 条告诉你「这事该不该做」。但知道该做之后，还有第二个致命问题：做多大？

押太少，机会浪费了；押太多，一次失手就出局，后面再好的机会也跟你没关系。 凯利公式给的是一条分界线：在这个比例上，你的钱长期增长最快。

🍽️
一桌好菜，你知道吃了对身体好。但吃多少？ 吃到十分饱，短期最爽； 撑出胃病，后面一星期都得喝粥 —— 你的「赚钱能力」被吃没了。
🎯
射击也是：子弹全打光，下一波敌人来了你只能挨打。凯利公式就是「留多少子弹」的算法。
💡
核心就一句话：赢面越大下得越多，但永远不到 100%。
因为只要不是 100% 确定，全压就等于把「长期游戏」变成「一次性赌博」。
f* = (b × p − q) ÷ b
念作：该下的比例 =（赔率 × 胜率 − 败率）÷ 赔率。
更直观的等价写法：f* = (b × p − q) / b，分子就是你的「期望值」—— 分子小于 0，公式直接告诉你：不下注。
f*该下的比例 —— 占总资金的百分之几
p胜率 —— 赢的概率
q败率 —— 输的概率（q = 1 − p）
b赔率 —— 赢一次赚几个「1 份」，输一次赔 1 份
赢的概率 60%，赔率 1 赔 1（赢赚 1 万、输赔 1 万）。该押多少？
胜率 p：0.6
败率 q：1 − 0.6 = 0.4
赔率 b：1
代入：(1 × 0.6 − 0.4) ÷ 1 = 0.2
✓ 该押 20%。不是 60%，更不是 100%。
赢面 60% 才押 1/5 —— 剩下的钱不是浪费，是让你能一直玩下去。
🎯 你什么时候用它
  • 决定单笔投入上限 — 算出来的比例再打个折（下面「坑」会讲为什么），就是你的单笔仓位红线。
  • 识别「重仓赌一把」的荒谬 — 赢面 55% 就觉得能梭哈，公式一算只该押 10%。
  • 把「止损」变成配置问题 — 与其研究什么时候砍，不如一开始就不让自己被一波带走。
⚠️ 实务上的重要修正

职业玩家普遍用「半凯利」。 因为公式里的胜率 p 是你自己估的，估错一点，算出的仓位就偏大。押实际值的一半，长期只少赚一点，但抗错能力强很多。

p 估不准的时候，公式会骗你。 如果你对胜率只有模糊感觉，那就别用公式精确计算 —— 直接用一个固定的小比例（比如总资金的 5%），效果往往更好。

4

夏普比率 值不值

Sharpe Ratio · 风险调整后收益
光看赚多少不够，还要看「一路上颠不颠」。它算的是每承受一份波动，能多换来多少收益。
🔍 到底在说什么

两个方案都能一年赚 20%，但一个是一路平稳爬升，另一个是半年腰斩、年底又猛涨回来。 账面收益一样，体感是天壤之别——后者大多数人会在腰斩时就割肉离场。

夏普比率就是把这个「颠簸程度」量化，然后用「赚的钱 ÷ 颠簸」得到一个分数。 分数越高，说明你赚得越省心。

🚗
两辆车都能跑到 200 公里外。一辆全程高速平稳，一辆一路急刹急拐、底盘都快散架。
🤢
结果是同一时间到，但第一辆车的人还在聊天，第二辆车上的人已经吐了。
夏普比率高的，就是那辆平稳的车。
💡
而且现实中差别更大：颠簸的车你不会一直坐，中途就想下车 —— 一旦下车，后面那段涨幅就不属于你了。
S = (Rp − Rf) ÷ σp
念作：夏普 = （你的收益 − 无风险收益）÷ 波动。
分子是「你自己赚来的超额部分」，分母是「一路上的波动」。
Rp组合收益 —— 你这个方案的收益率
Rf无风险收益 —— 存银行/国债那种，不用担风险的收益
σp波动 —— 一路上上下下的幅度
A 方案：年赚 15%，波动 10%。B 方案：年赚 25%，波动 25%。无风险收益按 3% 算。
A 的超额收益：15% − 3% = 12%
A 的夏普：12% ÷ 10% = 1.20
B 的超额收益：25% − 3% = 22%
B 的夏普：22% ÷ 25% = 0.88
✓ A 的夏普更高（1.20 > 0.88）—— 虽然 B 赚得多，但 A 每单位波动换来的收益更好。
如果只能选一个，追求「能拿得住」的话选 A。
🎯 你什么时候用它
  • 横评两个方案 — 别只看收益率排名，加上夏普一起看，才知道谁更「稳」。
  • 衡量一段实盘表现 — 半年赚 40% 但波动 60%，夏普其实很难看，说明这是在赌，不是在赚。
  • 判断自己该不该加杠杆 — 杠杆放大收益的同时等比放大波动，夏普不变的杠杆，只是让你更早出局。
⚠️ 它看不见的东西

夏普只惩罚「上下波动」，不惩罚「单边暴跌」。 一个每天小跌一点点、从不反弹的方案，波动看着也不大，夏普可能不难看，但这完全是灾难。

所以夏普要配合「最大回撤」（最惨的时候亏多少）一起看。两个指标合起来，才画得出真实的画像。

5

现金流贴现 值多少钱

Discounted Cash Flow · DCF
一样东西值多少钱，等于它未来能给你带来多少现金，全部折算回今天 —— 再远期的钱，要按风险打折。
🔍 到底在说什么

买一家公司、一套房、一门生意，本质上买的是它未来能吐出来的钱。 但三年后的一百万，和今天的一百万不是一回事 —— 因为今天的一百万可以先拿去赚利息。

所以要把未来的每一笔钱，都打一个折扣搬回今天，加起来才叫「这东西的真实价值」。 这个打折率（折现率）越高，说明风险越大、未来越不值钱。

📜
张三给你写张欠条：「三年后还你 100 万。」 你想现在把它卖掉，能卖多少？
🤝
如果张三是银行，几乎没风险，买家大概愿意出 95 万（少的那 5 万就是三年利息）。
如果张三是个赌徒，随时可能赖账，买家可能只肯出 30 万。
💡
注意：欠条上的数字一模一样，都是「100 万」，但今天的价钱差了 3 倍。
差别只在「未来能不能兑现」——这就是 DCF 的全部灵魂。
V = Σ CFt ÷ (1 + r)t
念作：价值 = 把第 1 年的现金、第 2 年的现金、第 3 年的……分别除以（1 + 折现率）的年数次方，再加起来。
年份越远，除得越多 —— 越远的钱越不值钱。
CFt第 t 年的现金流 —— 那年能吐出多少钱
r折现率 —— 打折的利率，风险越大给得越高
t期数 —— 第几年
V价值 —— 折算回今天的总价
一门生意，第一年给你 10 万，第二年 10 万，第三年 110 万（含卖出）。折现率用 10%。
第 1 年：10 ÷ 1.1 = 9.09 万
第 2 年：10 ÷ 1.1² = 8.26 万
第 3 年：110 ÷ 1.1³ = 82.64 万
合计：9.09 + 8.26 + 82.64 = 100.0 万
✓ 名义上你一共收到 130 万，但在 10% 折现率下，它今天的价值就是 100 万。
如果卖家开价 120 万——贵了；开价 80 万——便宜。
🎯 你什么时候用它
  • 给一门生意/项目定价 — 把未来几年能赚的钱列出来，折现加总，得到一个参考价。
  • 给股票估个底 — 公司值不值这个市值，本质就是它未来现金流折现值够不够。这是「价值投资」的地基。
  • 理解「为什么高增长股这么贵」 — 因为市场相信它后面很多年的 CF 增速很快，把远期部分估得很高。一旦预期破了，DCF 立刻塌方。
⚠️ 它的最大软肋

折现率 r 动一点点，结果差一大截。 上面例子把 r 从 10% 改成 15%，价值立刻从 100 万掉到 91 万左右——远期部分的敏感度更高。

而「未来能赚多少钱」这件事，本来就是猜的。所以 DCF 不是精确计算器，是思考框架：它逼你把「未来」和「风险」显式地摆到桌面上。

6

分散投资 别把鸡蛋放一篮

Modern Portfolio Theory · 均值-方差模型
把资金分给几个「不同步涨跌」的东西，总收益不见得变少，但一路上的颠簸明显变小 —— 这是市场上唯一免费的午餐。
🔍 到底在说什么

关键不是「买得够多」，而是买的东西别同时涨跌。 两个东西如果总是一起涨一起跌，你买十个也等于只买了一个。

真正能降风险的，是那种「A 跌的时候 B 在涨」的组合 —— 一个的坏消息，被另一个的好消息对冲掉一部分， 整条曲线就变平缓了。

☔
开水果店怕下雨。如果你只卖雨伞 —— 晴天生意惨淡，雨天暴赚。 一年下来坐过山车。
🍦
但如果你同时卖雨伞 和 冰淇淋：雨天卖伞、晴天卖冰，两头都有生意。 总收入没变少，但每天不再忽上忽下。
💡
这就是分散化的本质：找「不同步」的生意配在一起。
如果你卖雨伞又卖雨衣 —— 那叫「买得更多」，不叫分散。
σp² = Σ wi²σi² + Σi≠j 2wiwjσiσjρij
念作：组合的波动² = 各自独立的波动部分 + 互相之间的关联部分。
重点是那个 ρ（相关系数）：它越接近 1，第二块越大，分散越没用；越接近 0 甚至为负，第二块就越小甚至能抵消。
w权重 —— 每样东西占多少比例
σ波动 —— 各自单独的颠簸程度
ρ相关系数 —— 两个东西的涨跌有多同步（1 = 完全同步，0 = 不相关，−1 = 完全相反）
两只股票各投一半，各自波动 30%。看相关系数带来的区别：
ρ = 1.0（完全同步）：组合波动 = 30%　→ 白分散了
ρ = 0.5（有点相关）：组合波动 ≈ 26%　→ 降一点
ρ = 0.0（互不相干）：组合波动 ≈ 21%　→ 降三成
ρ = −0.5（此消彼长）：组合波动 ≈ 15%　→ 腰斩
✓ 收益率一样（各自都是赚那么多），但波动从 30% 一路降到 15%。
什么都没多付出，只是换了个「不同步」的搭配 —— 这就是那块免费的午餐。
🎯 你什么时候用它
  • 检查自己的持仓 — 数一数是不是「十只票八个都是同一个逻辑」，那等于只买了一件事。
  • 搭配真正不同的东西 — 同行业/同题材/同一个上游的，相关系数接近 1，配了也白配。
  • 理解「集中」的代价 — 集中能赚更多，但你换来的是「一次判断错了就出局」的概率，这跟第 3 条凯利是同一件事。
⚠️ 它会在最需要的时候失效

平时不相关的两样东西，在恐慌时会一起跌。 市场流动性枯竭时，相关系数会集体往 1 冲——你想分散，但所有人都在卖同一个东西。

所以分散是「平时降低不适感」的工具，不是「极端行情下的保险」。极端行情的保险，是第 7 条。

7

期权定价 保险多少钱

Black-Scholes · 布莱克-斯科尔斯模型
期权就是「权利的手续费」。这条公式算的是：在什么价位，买一个「未来可以按某个价格买/卖」的权利，才算公道。
🔍 到底在说什么

期权是一份保险合同：你先付一笔小钱（权利金），换一个「到期时按约定价格成交」的权利。 到期不划算，你可以不用这个权利，最多损失那笔权利金。

问题只有一个：这份保险该卖多少钱？ 布莱克-斯科尔斯告诉你的答案是：看五个东西——现价、约定价、时间、利率、以及最重要的，波动率。

🏠
你打算一年后买房，怕到时候涨价买不起。于是先付 5 万定金锁定「一年后按 500 万买」的权利。
📉
一年后房价跌到 450 万？你就不要这个权利了，亏掉 5 万定金，但用 450 万买下房子。
📈
一年后房价涨到 600 万？你行使权利，按 500 万买进来 —— 定金那 5 万太值了。
💡
现在关键变成：这 5 万定金收得合理吗？ 如果楼市天天暴涨暴跌（波动大），风险大，定金就该贵； 如果房价二十年纹丝不动（波动小），定金就该便宜。
「波动率」就是那个决定保费高低的因素 —— 这就是这条公式的核心洞察。
C = S0·N(d1) − K·e−rT·N(d2)
念作：看涨期权的价格 =（当前价 × 一个概率系数）−（约定价 × 折现 × 另一个概率系数）。
先不用管 d₁、d₂ 怎么算 —— 它们是两个由前面 5 个变量算出来的中间数，N( ) 是把它们转成概率。你要抓的是下面的直觉。
S0现在的价格
K约定价 —— 到期按这个价成交
T到期时间 —— 还剩多久
r无风险利率 —— 存银行那个利率
σ波动率 —— 这东西平时上蹿下跳多厉害
N( )把中间数转成概率的函数
五个变量各自变大，期权（保险）会变贵还是变便宜？
剩余时间 T 变长：变贵 ↑（时间越久，越可能涨上去）
波动率 σ 变大：变贵 ↑↑（上蹿下跳越凶，保险越值钱）
约定价 K 抬高：变便宜 ↓（要按更高的价买，权利更不值钱）
现价 S₀ 上涨：变贵 ↑（离约定价更近，更容易赚）
✓ 最值得记住的一条：波动率 σ 是唯一天天在变、又最难预测的变量。
所以期权的真实价格波动，几乎全在博弈「接下来市场会有多颠」。
🎯 你什么时候用它
  • 买保险对冲 — 持仓怕跌，可以花一笔小钱买「下跌保护」，最坏就是损失这笔权利金。
  • 看懂「波动率」这个词 — 市场恐慌时，保险费会突然贵得离谱，因为公式里 σ 飙升了。
  • 别裸卖期权 — 你收了一笔小保费，看似稳赚，但一旦遇到极端行情，赔付是无限的。这是「捡钢镚在压路机前面」。
⚠️ 现实中的两个偏差

真实市场里，极端暴涨暴跌出现的频率比这套公式预测的更高。 所以它算出来的价格，在极端行情下会系统性偏低——这也是为什么 2008 年、2020 年这类年份会打脸所有「按公式算得很安全」的模型。

它假设「波动率是稳定的」，但现实里波动率自己会跳。 所以后来才有各种修正模型。记住这条公式的价值不是「精确报价」，而是教会你：风险的价格，由波动决定。

✦ 七条公式，其实是一件事的七个步骤

把它们串起来，就是一次完整的决策流程 —— 从「要不要做」一路走到「怎么防极端」。

  1. 期望值：这事该不该做？ 算出来是负的，直接砍掉，后面都不用看。
  2. 复利：做多久？ 确认这件事能持续重复，而不是一锤子买卖 —— 复利只在「重复」里生效。
  3. 凯利公式：下多少？ 决定了做，再算该投入多大比例，永远留有余地。
  4. 夏普比率：值不值？ 同样的收益，看看一路颠不颠，选那条你能拿得住的曲线。
  5. 现金流贴现：它到底值多少钱？ 给标的定个价，才知道现在是不是买贵了。
  6. 分散投资：怎么配？ 找不同步的资产组合，把整条曲线的颠簸压平。
  7. 期权定价：极端怎么办？ 前面六条都是「正常情况下」，这一条是给「万一」买保险。
最后的实话： 这七条公式真正的价值，不是让你算出精确的数字 —— 而是让你在每一个该做决定的时刻，知道自己漏掉了哪个问题。 大多数人亏钱，不是算错了，是压根没意识到有个问题该问。